Question

16．已知函数f（x）=lnx+x²+ax，
（1）若f（x）在定义域内为增函数，求实数a的取值范围；
（2）设g（x）=f（x）-x²+1，当a=-1时，求证：g（x）≤0恒成立．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，问题转化为-a≤$\frac{1}{x}$+2x恒成立，根据不等式的性质求出a的范围即可；
（2）求出g（x）的解析式，求出函数的导数，根据函数的单调性求出g（x）的最大值，证明结论即可．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），要使f（x）=lnx+x²+ax在定义域内是增函数，
则等价为f′（x）≥0恒成立，
∵f（x）=lnx+x²+ax，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$+2x+a≥0，
即-a≤$\frac{1}{x}$+2x恒成立，
当x＞0时，y=$\frac{1}{x}$+2x≥2$\sqrt{\frac{1}{x}•x}$=2$\sqrt{2}$，
则-a≤2$\sqrt{2}$，即a≥-2$\sqrt{2}$．
（2）a=-1时，g（x）=f（x）-x²+1=lnx-x，
g（x）的定义域是（0，+∞），
g′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
令g′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令g′（x）＜0，解得：x＞1，
故g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
故g（x）≤g（1）=0，
故结论成立．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．