Question

8．己知函数f（x）=$\frac{{a{x^2}}}{e^x}（{a≠0}）$，h（x）=x-$\frac{1}{x}$．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）设a=1，且g（x）=$\frac{1}{2}[{f（x）+h（x）}]-\frac{1}{2}\left|{f（x）}\right.-h（x）\left|{-c{x^2}}$，已知函数g（x）在（0，+∞）上是增函数．
（1）研究函数φ（x）=f（x）-h（x）在（0，+∞）上零点的个数；
（ii）求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，由函数的解析式对其求导，对a进行分2类讨论，①当a＞0时，②当a＜0时，分别分析导函数的符号，综合即可得答案；
（Ⅱ）（1）根据题意，将a=1代入φ（x）的解析式，求导对x进行分类讨论，分析可得ϕ（x）在（0，+∞）上单调递减，结合零点判定定理即可得答案；
（ii）由（1）的结论，当x∈（0，x₀）时，ϕ（x）＞0，当x∈（x₀，+∞）时，ϕ（x）＜0．分析x＞0时函数的解析式，并求导，分析可得答案．

解答 解：（Ⅰ）根据题意，∵$f（x）=\frac{{a{x^2}}}{e^x}（a≠0）$，
∴$f'（x）=a（2x{e^{-x}}-{x^2}{e^{-x}}）=ax（2-x）{e^{-x}}=\frac{ax（2-x）}{e^x}$，
①当a＞0时，
在x∈（-∞，0）∪（2，+∞）时，f'（x）＜0，
在x∈（0，2）时，f'（x）＞0，
故f（x）在（-∞，0），（2，+∞）上是减函数，在（0，2）上是增函数；
②当a＜0时，
在x∈（-∞，0）∪（2，+∞）时，f'（x）＞0，
在x∈（0，2）时，f'（x）＜0，
故f（x）在（-∞，0），（2，+∞）上是增函数，在（0，2）上是减函数；
（Ⅱ）（1）当a=1时，函数ϕ（x）=f（x）-h（x）=$\frac{x^2}{e^x}-（x-\frac{1}{x}）$，
求导，得$ϕ'（x）=\frac{x（2-x）}{e^x}-1-\frac{1}{x^2}$，
当x≥2时，ϕ'（x）＜0恒成立，
当0＜x＜2时，$x（2-x）≤{[\frac{x+（2-x）}{2}]^2}=1$，
∴$ϕ'（x）=\frac{x（2-x）}{e^x}-1-\frac{1}{x^2}$$≤\frac{1}{e^x}-1-\frac{1}{x^2}＜1-1-\frac{1}{x^2}＜0$，
∴ϕ'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，故ϕ（x）在（0，+∞）上单调递减．
又$ϕ（1）=\frac{1}{e}＞0$，$ϕ（2）=\frac{4}{e^2}-\frac{3}{2}＜0$，
曲线ϕ（x）=f（x）-h（x）在[1，2]上连续不间断，
∴由函数的零点存在性定理及其单调性知，?唯一的x₀∈（1，2），使ϕ（x₀）=0，
所以，函数ϕ（x）=f（x）-h（x）在（0，+∞）上零点的个数为1．
（ii）由（1）知，当x∈（0，x₀）时，ϕ（x）＞0，当x∈（x₀，+∞）时，ϕ（x）＜0．
∴当x＞0时，$g（x）=\frac{1}{2}[f（x）+h（x）]-\frac{1}{2}|f（x）-h（x）|-c{x^2}$=$\left\{\begin{array}{l}x-\frac{1}{x}-c{x^2}，0＜x≤{x_0}\\ \frac{x^2}{e^x}-c{x^2}，x＞{x_0}\end{array}\right.$
求导，得$g'（x）=\left\{\begin{array}{l}1+\frac{1}{x^2}-2cx，\;0＜x≤{x_0}\\ \frac{x（2-x）}{e^x}-2cx，\;x＞{x_0}.\end{array}\right.$
由函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，且曲线y=g（x）在（0，+∞）上连续不断知：g'（x）≥0在（0，x₀]，（x₀，+∞）上恒成立．
①当x∈（x₀，+∞）时，$\frac{x（2-x）}{{e}^{x}}$-2cx≥0在（x₀，+∞）上恒成立，
即$2c≤\frac{2-x}{e^x}$在（x₀，+∞）上恒成立，
记$u（x）=\frac{2-x}{e^x}$，x＞x₀，则$u'（x）=\frac{x-3}{e^x}$，x＞x₀，
当 x变化时，u'（x），u（x）变化情况列表如下：

x	（x0，3）	3	（3，+∞）
u'（x）	-	0	+
u（x）	↓	极小值	↑

∴u（x）_min=u（x）_极小值=u（3）=$-\frac{1}{e^3}$，
故“$2c≤\frac{2-x}{e^x}$在（x₀，+∞）上恒成立”，只需2c≤u（x）_min=$-\frac{1}{e^3}$，即$c≤-\frac{1}{{2{e^3}}}$．
②当x∈（0，x₀]时，g'（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-2cx，
当c≤0时，g'（x）＞0在x∈（0，x₀]上恒成立，
综合①②知，当$c≤-\frac{1}{{2{e^3}}}$时，函数g（x）在（0，+∞）上是增函数．
故实数c的取值范围是$（-∞，\;-\frac{1}{{2{e^3}}}]$．

点评 本题考查函数导数的应用，涉及导数与函数的单调性的关系，关键是正确求出函数的导数．