Question

5．已知点A（5，0），抛物线C：y²=2px（0＜p＜5）的准线为l，点P在C上，作PH⊥l于H，且|PH|=|PA|，∠APH=120°，则p=（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由抛物线的定义可知：丨PH丨=x₁+$\frac{p}{2}$，根据三角形的性质，即可求得P点坐标，代入抛物线方程，即可求得p的值．

解答 解：设P（x₁，y₁），x₁＞0，过P点做PD⊥OA，
则由|PH|=|PA|，∠APH=120°，则∠APD=30°，
由抛物线的定义可知：丨PH丨=x₁+$\frac{p}{2}$，
∴|PA|=x₁+$\frac{p}{2}$，丨AD丨=5-x₁，
sin∠APD=$\frac{丨AD丨}{丨AP丨}$，则x₁=$\frac{10}{3}$-$\frac{p}{6}$，
则丨PD丨=丨AP丨cos∠APD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{10}{3}$-$\frac{p}{6}$+$\frac{p}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{10}{3}$+$\frac{p}{3}$），
则P（$\frac{10}{3}$-$\frac{p}{6}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{10}{3}$+$\frac{p}{3}$），），将P代入抛物线方程，
整理得：p²-12p+20=0，解得：p=2，或p=10（舍去），
∴p的值2，
故选B．

点评 本题考查抛物线的定义及简单几何性质，三角形的性质，考查数形结合思想，属于中档题．