Question

9．如图2，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行．点A，B是“六芒星”（如图1）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），若$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，则x+y的取值范围是（　　）

• A． [-4，4]
• B． $[{-\sqrt{21}，\sqrt{21}}]$
• C． [-5，5]
• D． [-6，6]

Answer 1

分析 根据题意，画出图形，结合图形，得出求x+y的最大值时﹐只需考虑图中6个顶点的向量即可，分别求出即得结论．根据其对称性，可知x+y的最小值

解答 解：设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$﹐$\overrightarrow{OF}$=$\overrightarrow{b}$﹐求x+y的最大值﹐只需考虑右图中6个顶点的向量即可，讨论如下﹔
（1）∵$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$﹐∴（x，y）=（1，0）；
（2）∵$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{FB}$=$\overrightarrow{b}$+3$\overrightarrow{a}$﹐∴（x，y）=（3，1）；
（3）∵$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{b}$+2$\overrightarrow{a}$﹐∴（x，y）=（2，1）； 
（4）∵$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{FE}$+$\overrightarrow{ED}$=$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}$+（$\overrightarrow{b}$+2$\overrightarrow{a}$）=3$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$，∴（x，y）=（3，2）； 
（5）∵$\overrightarrow{OE}$=$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{FE}$=$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}$﹐∴（x，y）=（1，1）； 
（6）∵$\overrightarrow{OF}$=$\overrightarrow{b}$﹐∴（x，y）=（0，1）﹒
∴x+y的最大值为3+2=5﹒
根据其对称性，可知x+y的最小值为-5﹒
故x+y的取值范围是[-5，5]，
故选：C．

点评 本题考查了平面向量的加法运算及其几何意义问题，解题时应根据题意，画出图形，结合图形解答问题．