Question

1．已知函数f（x）=-x|x|+2x+1，则下列结论正确的是（　　）

• A． f（x）是偶函数
• B． f（x）的递减区间是（-1，1）
• C． 若方程f（x）+k=0有三个不同的实数根，则-2≤k≤0
• D． 任意的a＞0，$f（lga）+f（lg\frac{1}{a}）=0$

Answer 1

分析 写出分段函数，画出图形，数形结合得答案．

解答 解：f（x）=-x|x|+2x+1=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+1，x≥0}\\{{x}^{2}+2x+1，x＜0}\end{array}\right.$．
作出函数图象如图：

由图可知，函数图象关于原点中心对称，函数为奇函数，故A错误；
函数在（-1，1）上为增函数，故B错误；
若方程f（x）+k=0有三个不同的实数根，则-2＜-k＜2，即-2＜k＜2，故C错误；
∵当a＞0时，lga与lg$\frac{1}{a}$互为相反数，则f（lga）+f（lg$\frac{1}{a}$）=0，故D正确．
故选：D．

点评 本题考查分段函数的应用，考查函数的图象和性质，是中档题．