Question

4．已知函数f（x）满足$f（x）+1=\frac{1}{{f（{x+1}）}}$，当0≤x≤1时，f（x）=x，若方程f（x）-mx-m=0（x∈（-1，1]）有两个不同实数根，则实数m的最大值是（　　）

• A． $-\frac{1}{2}$
• B． $-\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 求出f（x）的解析式，作出f（x）与y=m（x+1）的函数图象，根据图象和交点个数求出m的最大值．

解答 解：当x∈（-1，0）时，f（x）=$\frac{1}{f（x+1）}-1$=$\frac{1}{x+1}-1$，
∵方程f（x）-mx-m=0（x∈（-1，1]）有两个不同实数根，
∴f（x）与y=m（x+1）在（-1，1]上有两个交点，
作出f（x）与y=m（x+1）在（-1，1]上的函数图象如图所示：

由图象可知当直线y=m（x+1）经过点（1，1）时，斜率最大，此时m=$\frac{1}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查了方程根与函数图象的关系，属于中档题．