Question

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=

1

2

AB=1，M是PB的中点．
（1）证明：面PAD⊥面PCD；
（2）求AC与PB所成的角的余弦值；
（3）求二面角A-MC-B的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,异面直线及其所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）因为PA⊥AD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点，以AD长为单位长度，以AD为x轴，以AB为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够证明面PAD⊥面PCD．
（2）由

AC

=(1，1，0)，

PB

=(0，2，-1)，利用向量法能够求出AC与PB所成的角．
（3）求出平面AMC、平面BMC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A-MC-B的余弦值．

解答： （1）证明：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点，AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，

1

2

)．

AP

=(0，0，1)，

DC

=(0，1，0)，故

AP

•

DC

=0，所以AP⊥DC
由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，
由此得DC⊥面PAD．又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD．…（4分）
（2）解：∵

AC

=(1，1，0)，

PB

=(0，2，-1)，
∴cos＜

AC

，

PB

＞=

AC • PB

| AC || PB |

=

10

5

，
∴AC与PB所成角的余弦值为

10

5

…（8分）
（3）解：设

n

=(x，y，z)，

n

⊥平面AMC，
∵

AC

=（1，1，0），

AM

=（0，1，

1

2

)，
∴

x+y=0 y+ z 2 =0

，
可得

n

=(-1，1，-2)，
同理可得平面BMC的一个法向量

m

=(1，1，2)，
∴cosθ=

m • n

| m || n |

=-

2

3

∴所求二面角的余弦值为-

2

3

…（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查空间中异面直线所成角的大小的求法，考查二面角的余弦值．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．