Question

已知等差数列{a_n}中，公差d≠0，a₂是a₁与a₄的等比中项，且a₄-a₁=6；在等比数列{b_n}中，公比q＞0，且b₁=a₁，b₃=a₄，设c_n=

1

(an+2)lgbn2

，则数列{c_n}的前n项和T_n的最小值为

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件利用等差数列通项公式和等比中项性质求出a_n=2n，由此得到b₁=2，b₃=8，再由q＞0从而求出b_n和c_n，利用裂项求和法能求出T_n的最小值．

解答： 解：因为等差数列{a_n}中，a₄-a₁=6，所以公差d=

a4-a1

4-1

=2，
又a₂是a₁与a₄的等比中项，所以（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），
即（a₁+2）²=a₁（a₁+6），解得a₁=d=2，或d=0（舍去），
所以a_n=a₁+（n-1）d=2n，
在等比数列{b_n}中，公比q＞0，且b₁=a₁，b₃=a₄，
所以b₁=2，b₃=8，则q2=

b3

b1

=4，解得q=2，
则b_n=b1•2n-1=2ⁿ，
所以c_n=

1

(an+2)lgbn2

=

1

(2n+2)lg22n

=

1

4lg2

•

1

n(n+1)

=

1

4lg2

(

1

n

-

1

n+1

)，
则数列{c_n}的前n项和T_n=

1

4lg2

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=

1

4lg2

(1-

1

n+1

)，
因为T_n=

1

4lg2

(1-

1

n+1

)随着n的增大而增大，
所以当n=1时，T_n取最小值是

1

8lg2

，
故答案为：

1

8lg2

．

点评：本题考查等差数列、等比数列的通项公式，等比中项性质，以及数列的前n项和的最小值的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．