Question

已知函数f（x）=

2

x

（1）判断f（x）奇偶性并证明；
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性？并证明你的结论．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）求出函数的定义域，然后由f（-x）=-f（x）判定函数为奇函数；
（2）直接利用函数单调性的定义加以证明．

解答： 解：（1）f（x）=

2

x

是定义域内的奇函数．
证明：函数）f（x）=

2

x

的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
由f（-x）+f（x）=

2

-x

+

2

x

=0，得f（-x）=-f（x），
∴f（x）=

2

x

是定义域内的奇函数；
（2）函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．
证明：在（0，+∞）上任取两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

2

x1

-

2

x2

=

2(x2-x1)

x1x2

，
∵x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴

2(x2-x1)

x1x2

＞0．
即f（x₁）＞f（x₂）．
∴函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．

点评：本题考查了函数的单调性与奇偶性的判断与证明，关键是熟记证明步骤，是基础题．