Question

设函数f（x）=log_b

x2-2x+2

4-x

（b＞0且b≠1）
（1）求f（x）的定义域；
（2）当b＞1时，求使f（x）＞0的所有x的值．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由对数函数的真数大于0，解不等式

x2-2x+2

4-x

＞0即可求得f（x）的定义域；
（2）当b＞1时，利用对数函数的单调性，解不等式

x2-2x+2

4-x

＞1即可．

解答： 解：（1）依题意，

x2-2x+2

4-x

＞0，即

(x-1)2+1

4-x

＞0，
∴4-x＞0，
∴x＜4，
∴f（x）的定义域为（-∞，4）．
（2）∵f（x）＞0，∴log_b

x2-2x+2

4-x

＞log_b1，b＞1，
∴

x2-2x+2

4-x

＞1，即

x2-2x+2

4-x

-1=

x2-2x+2+x-4

4-x

=

x2-x-2

4-x

＞0，
∴

x2-x-2

x-4

＜0，即

(x+1)(x-2)

x-4

＜0，
∴①

(x+1)(x-2)＞0 x-4＜0

或②

(x+1)(x-2)＜0 x-4＞0

解①得：x＜-1或2＜x＜4；
解②得：x∈∅；
∴当b＞1时，使f（x）＞0的所有x值的解集为：（-∞，-1）∪（2，4）．

点评：本题考查对数函数图象与性质的综合应用，考查解不等式的能力与作图能力，属于中档题．