Question

已知函数f（x）=ax²+2x+c（a，c∈N）满足①f（1）=5；②6＜f（2）＜11
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对任意实数x∈[

1

2

，

3

2

]，都有f（x）-2m≤1成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（1）=5得a+2+c=5，化为a+c=3．由6＜f（2）＜11，得到6＜4a+4+c＜11，联立

a+c=3 6＜4a+c＜11

，解得a的取值范围．利用a∈N，可得a，进而得到c，于是得到f（x）．
（2）①当f（x）=x²+2x+2时，对任意实数x∈[

1

2

，

3

2

]，都有f（x）-2m≤1成立，化为m≥

1

2

(x+1)2在x∈[

1

2

，

3

2

]恒成立?m≥[

1

2

(x+1)2]min在x∈[

1

2

，

3

2

]恒成立．利用二次函数的单调性可得函数y=

1

2

(x+1)2在x∈[

1

2

，

3

2

]上的最大值．
②当f（x）=2x+3时，对任意实数x∈[

1

2

，

3

2

]，都有f（x）-2m≤1成立，化为m≥x+1对任意实数x∈[

1

2

，

3

2

]恒成立，此式等价于m≥（x+1）_max对任意实数x∈[

1

2

，

3

2

]恒成立，利用一次函数的单调性，即可得出．

解答： 解：（1）由f（1）=5得a+2+c=5，化为a+c=3．由6＜f（2）＜11，得到6＜4a+4+c＜11，化为2＜4a+c＜7，把c=3-a代入得2＜4a+3-a＜7，解得-

1

3

＜a＜

4

3

．
∵a∈N，∴a=0或1．
当a=0时，c=3；当a=1时，c=2．
∴f（x）=2x+3或f（x）=x²+2x+2．
（2）①当f（x）=x²+2x+2时，对任意实数x∈[

1

2

，

3

2

]，都有f（x）-2m≤1成立，化为m≥

1

2

(x+1)2在x∈[

1

2

，

3

2

]恒成立?m≥[

1

2

(x+1)2]min在x∈[

1

2

，

3

2

]恒成立．
由g(

1

2

)=

9

8

，g(

3

2

)=

25

8

，利用二次函数的单调性可知：y=

1

2

(x+1)2在x∈[

1

2

，

3

2

]上的最大值为

25

8

．
②当f（x）=2x+3时，对任意实数x∈[

1

2

，

3

2

]，都有f（x）-2m≤1成立，化为m≥x+1对任意实数x∈[

1

2

，

3

2

]恒成立，此式等价于m≥（x+1）_max对任意实数x∈[

1

2

，

3

2

]恒成立，由一次函数的单调性，当x∈[

1

2

，

3

2

]时，可得（x+1）max=

3

2

+1=

5

2

．
∴m≥

5

2

．

点评：本题考查了求二次函数的解析式、恒成立问题通过分离参数等价转化为二次函数或一次函数的单调性研究函数的最值问题等基础知识与基本方法，属于难题．