Question

已知函数f（x）的图象如图所示，若函数y=f（x）-

1

x

-a在区间[-10，10]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（　　）

• A、[-

  4

  5

  ，

  4

  5

  ]
• B、(-

  4

  5

  ，

  4

  5

  )
• C、[-

  1

  10

  ，

  1

  10

  ]
• D、(-

  1

  10

  ，

  1

  10

  )

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：可采用数形结合的方法解决问题，因为f（x）-

1

x

是奇函数，只需判断a≥0时的满足题意的a的范围，然后即可解决问题．

解答： 解：y=f（x）-

1

x

-a在区间[-10，10]上有10个零点（互不相同），即函数y=f（x）与y=g（x）=

1

x

+a的图象在[-10，10]上有10个不同的交点．
先研究a≥0时的情况，如图，当a=0时，g（x）=

1

x

恰好与y=f（x）产生10个交点；
当a＞0时，y=

1

x

+a的图象是将y=

1

x

向上平移a个单位，则在y轴右边，当g（9）＜1时，右边产生4个交点；
同时y轴左边满足g（-10）≤0时，左边产生6个交点．
这样共产生10个交点，即

g(9)＜1 g(-10)≤0

，解得0≤a≤

1

10

．
同理，根据函数图象的对称性可知，当a＜0时，只需-

1

10

≤a＜0时满足题意．
综上，当-

1

10

≤a≤

1

10

时，
函数y=f（x）-

1

x

-a在区间[-10，10]上有10个零点（互不相同）．


故选C

点评：本题考查了数形结合的方法研究函数的零点个数的问题，要注意参数变化时函数图象的变化规律．属于中档题．