Question

对于项数为m的有穷数列{a_n}，记b_k=max{a₁，a₂，…a_k}，即b_k为a₁，a₂，…a_k中的最大值，并称数列{b_n}是{a_n}的“控制数列”，如1，3，2，5，5的控制数列为1，3，3，5，5．
（1）若各项均为正整数的数列{a_n}的控制数列为2，3，4，5，5，则这样的数列{a_n}有

 

个；
（2）设m=100，常数a∈（

1

2

，1），若a_n=an²-(-1)

n(n+1)

2

•n，{b_n}是{a_n}的控制数列，则（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+…+（b₁₀₀-a₁₀₀）=

 

．

Answer 1

考点：数列的应用,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用控制数列的概念列出满足条件的数列{a_n}，由此能求出结果．
（2）对k=1，2，…25，a_4k-3=a（_4k-3）²+（4k-3），a_4k-2=a（4k-2）²+（4k-2），a_4k-1=a（4k-1）²-（4k-1），a_4k=a（4k）²-4k，比较大小，得a_4k-2＞a_4k-1，从而a_4k＞a_4k-2，a_4k+1＞a_4k，从而b_4k-3=a_4k-3，b_4k-2=a_4k-2，b_4k-1=a_4k-2，b_4k=a_4k，由此能求出结果．

解答： 解：（1）由已知得满足条件的数列{a_n}为：
{2，3，4，5，1}，
{2，3，4，5，2}，
{2，3，4，5，3}，
{2，3，4，5，4}，
{2，3，4，5，5}．
则这样的数列{a_n}有5个．
（2）对k=1，2，…25，
a_4k-3=a（_4k-3）²+（4k-3），a_4k-2=a（4k-2）²+（4k-2），
a_4k-1=a（4k-1）²-（4k-1），a_4k=a（4k）²-4k，
比较大小，可得a_4k-2＞a_4k-1，
∵

1

2

＜a＜1，
∴a_4k-1-a_4k-2=（a-1）（8k-3）＜0，
即a_4k-2＞a_4k-1； a_4k-a_4k-2=2（2a-1）（4k-1）＞0，
即a_4k＞a_4k-2，
又a_4k+1＞a_4k，
从而b_4k-3=a_4k-3，b_4k-2=a_4k-2，b_4k-1=a_4k-2，b_4k=a_4k，
∴（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+…+（b₁₀₀-a₁₀₀）=（a₂-a₃）+（a₆-a₇）+…+（a₉₈-a₉₉）
=

25

k=1

（a_4k-2-a_4k-1）
=（1-a）

25

k=1

（8k-3）
=2525（1-a）．
故答案为：5；2525（1-a）．

点评：本题考查满足条件的数列个数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意放缩法的合理运用．