Question

如图所示，等边△ABC的边长为a，将它沿平行于BC的线段PQ折起，使平面A′PQ⊥平面BPQC，若折叠后A′B的长为d，则d的最小值为

 

．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：取BC中点为F，折叠后A′BF为一直角三角形，A′F的长度最短时，A′B长度取到最小值，由此能求出d的最小值．

解答： 解：取BC中点为F，折叠后A′BF为一直角三角形，
且∠A′FB=90°，由于BF在折叠前后长度不变，
由勾股定理可以得到，折叠后A′B²=B′F²+A′F²，
所以A′F的长度最短时，A′B长度取到最小值，
设AF与PQ交于E，
设AE长度为x，在直角△A′EF中，A′E²+EF²=A′F² ，
∴A′F² =x²+（

3 a

2

-x）²
=2（x-

3 a

4

）²+

3

8

a2，
∴x=

3 a

4

时，A′F取到最小值

3 8 a2

=

6

4

a．
∴d_min=

( 6 4 a)2+( 1 2 a)2

=

10

4

a．
故答案为：

10

4

a．

点评：本题考查线段的长度的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．