Question

8．如图，在一条景观道的一端有一个半径为50米的圆形摩天轮O，逆时针15分钟转一圈，从A处进入摩天轮的座舱，OA垂直于地面AM，在距离A处150米处设置了一个望远镜B．
（1）同学甲打算独自乘坐摩天轮，但是其母亲不放心，于是约定在登上摩天轮座舱5分钟后，在座舱内向其母亲挥手致意，而其母亲则在望远镜B中仔细观看．问望远镜B的仰角θ应调整为多少度？（精确到1度）
（2）在同学甲向其母亲挥手致意的同时，同一座舱的另一名乘客乙在拍摄地面上的一条绿化带BD，发现取景的视角α恰为45°，求绿化带BD的长度（精确到1米）．

Answer 1

分析 （1）因为摩天轮做匀速转动，逆时针15分钟转一圈，可得5分钟转过120°，过点C作CH⊥AB于点H，利用解三角形可得望远镜B的仰角θ；
（2）由题意可求CD，利用正弦定理即可解得BD的长度．

解答 （本题（14分），第1小题（8分），第2小题6分）
解：（1）∵逆时针15分钟转一圈，
∴5分钟转过120°（2分）
过点C作CH⊥AB于点H，
则CH=50+50•sin（120°-90°）=75（2分）
$BH=150-50•cos（{120°-90°}）=150-25\sqrt{3}$（2分）
∴$tanθ=\frac{CH}{BH}=\frac{75}{{150-25\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{{2\sqrt{3}-1}}=\frac{{6+\sqrt{3}}}{11}$，
∴$θ=arctan\frac{{6+\sqrt{3}}}{11}≈35°$（2分）
答：望远镜的仰角θ设置为35°
（2）在△BCD中，θ=35°，α=45°，
∴∠CDH=80°（2分）
∴$CD=\frac{CH}{sin80°}=\frac{75}{sin80°}$
由正弦定理得：$\frac{BD}{sinα}=\frac{CD}{sinθ}$（2分）
∴$BD=\frac{CD•sinα}{sinθ}=\frac{75•sin45°}{sin80°•sin35°}≈94$（2分）
答：绿化带的长度为94米．

点评 本题考查了已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是作出正确的示意图，然后再由三角形中的相关知识进行求解，解题时要注意综合利用所学知识与题中的条件，求解三角形的边与角，是中档题．