Question

3．已知$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-4x+3，\;\;x≤0\\-{x^2}-2x+3，\;\;x＞0\end{array}\right.$，当x∈[a，a+1]时不等式f（x+a）≥f（2a-x）恒成立，则实数a的最大值是-2．

Answer 1

分析 根据分段函数，讨论其单调性，根据单调性得出a≥2x在x∈[a，a+1]时恒成立，只需求出右式的最大值即可．

解答 解：二次函数x²-4x+3的对称轴是x=2；
∴该函数在（-∞，0]上单调递减；
∴x²-4x+3≥3；
同样可知函数-x²-2x+3在（0，+∞）上单调递减；
∴-x²-2x+3＜3；
∴f（x）在R上单调递减；
∴x+a≤2a-x恒成立，
∴a≥2x在x∈[a，a+1]时恒成立，
∴a≤-2，
故答案为-2．

点评 考查了分段函数的单调性判断和恒成立问题的转换．