Question

13．$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1+2n+3{n}^{2}+…+2004{n}^{2003}}{{n}^{2003}+2{n}^{2002}+…+2003n+2004}$=2004．

Answer 1

分析 将原式的分子分母同时除以n²⁰⁰³得$\frac{\frac{1}{{n}^{2003}}+\frac{2}{{n}^{2002}}+\frac{3}{{n}^{2001}}+…+\frac{1}{{n}^{0}}•2004}{1+\frac{2}{n}+\frac{3}{{n}^{2}}+…+\frac{2004}{{n}^{2003}}}$，再直接取其极限即可．

解答 解：将原式的分子分母同时除以n²⁰⁰³，
原式=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1+2n+3{n}^{2}+…+2004{n}^{2003}}{{n}^{2003}+2{n}^{2002}+…+2003n+2004}$
=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{\frac{1}{{n}^{2003}}+\frac{2}{{n}^{2002}}+\frac{3}{{n}^{2001}}+…+\frac{1}{{n}^{0}}•2004}{1+\frac{2}{n}+\frac{3}{{n}^{2}}+…+\frac{2004}{{n}^{2003}}}$，
其中，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{{n}^{k}}$=0，k=1，2，3，…，2003，
所以，原式=$\frac{0+0+0+…+0+2004}{1+0+0+…+0+0}$=2004．
故答案为：2004．

点评 本题主要考查了数列极限及其运算，将分式的分子分母同时除以n的最高次数项是解决本题的关键，属于中档题．