Question

20．设函数f（x）=|x-a|+|x-2|．
（1）当a=2时，求不等式f（x）≤14的解集；
（2）若f（x）≥a²对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先将不等式等价为：|x-2|≤7，再直接去绝对值求解；
（2）先用绝对值三角不等式将问题等价为：f（x）_min=|a-2|≥a²，再分类讨论求解即可．

解答 解：（1）当a=2时，不等式f（x）≤14即为，|x-2|+|x-2|≤14，
所以，|x-2|≤7，不等式等价为：-7≤x-2≤7，
解得，-5≤x≤9，
故原不等式的解集为：{x|-5≤x≤9}；
（2）因为不等式f（x）≥a²对x∈R恒成立，
所以，f（x）_min≥a²，
根据绝对值三角不等式，|x-a|+|x-2|≥|（x-a）-（x-2）|=|a-2|，
即f（x）_min=|a-2|，所以，|a-2|≥a²，分类讨论如下：
①当a≥2时，a-2≥a²，无解；
②当a＜2时，2-a≥a²，解得a∈[-2，1]，
综合以上讨论得，实数a的取值范围为：[-2，1]．

点评 本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式的应用和不等式恒成立问题的求解，体现了分类讨论的解题思想，属于中档题．