Question

19．如果复数z=$\frac{6-bi}{1+2i}$（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数．
①求z．
②求|z|．
③负数z在复平面内对应的点在第几象限．
④若z（m+i）是纯虚数，求m的值．
⑤求（$\frac{z}{\overline{z}}$）²⁰¹⁶．

Answer 1

分析 ①化简复数为a+bi的形式，求出复数z．
②直接利用复数的模求解即可．
③求出复数的对应点的坐标，即可得到结果．
④利用复数的基本概念求解即可．
⑤利用复数的幂运算求解即可．

解答 解：①复数z=$\frac{6-bi}{1+2i}$=$\frac{（6-bi）（1-2i）}{（1+2i）（1-2i）}$=$\frac{6-2b+（-12-b）i}{5}$，
复数z=$\frac{6-bi}{1+2i}$（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，
可得6-2b=12+b，解得b=-2，
z=2-2i．
②|2-2i|=$\sqrt{{2}^{2}+（-2）^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
③复数z在复平面内对应的点（2，-2）在第四象限．
④z（m+i）=（2-2i）（m+i）=2m+2+（2-2m）i，是纯虚数，可得2m+2=0，解得m=-1．
⑤（$\frac{z}{\overline{z}}$）²⁰¹⁶=$（\frac{2+2i}{2-2i}）^{2016}$=$[{（\frac{1+i}{1-i}）^{2}]}^{1008}$=${[\frac{2i}{-2i}]}^{1008}$=1．

点评 本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模，复数的基本概念以及幂运算法则的应用，考查计算能力．