Question

已知函数f（x）=x²-2x+a，其中a＞0，若存在实数t，使f（t）＜0，则f（t+2）•f（

2t+1

3

）的值为

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由已知可得f（x）=x²-2x+a＜0的解集（m，n），满足（m，n）⊆（0，2），进而分析f（t）＜0时，f（t+2），f（

2t+1

3

）的符号，进而可得f（t+2）•f（

2t+1

3

）的符号．

解答： 解：∵f（x）=x²-2x+a=0，
则|x₂-x₁|²=（x₂+x₁）²-4x₂•x₁=4-4a，
∵0＜4-4a＜4，
∴0＜|x₂-x₁|＜2，
又∵f（0）=f（2）=a＞0，函数f（x）图象的对称轴x=1∈（0，2），
设f（x）=x²-2x+a＜0的解集为（m，n），
则（m，n）⊆（0，2），
当t∈（m，n）⊆（0，2）时，
t+2∈（2，4），故f（t+2）＞0，

2t+1

3

∈（

2m+1

3

，

2n+1

3

）⊆（m，n），故f（

2t+1

3

）＜0，
故f（t+2）•f（

2t+1

3

）＜0，
即f（t+2）•f（

2t+1

3

）的值为负．
故答案为：负．

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，其中根据已知分析出f（t+2），f（

2t+1

3

）的符号，是解答的关键．