Question

如图，P是⊙O的直径AB延长线上一点，割线PCD交⊙O于C、D两点，弦DF与直径AB垂直，H为垂足，CF与AB交于点E．
（Ⅰ）求证：PA•PB=PO•PE；
（Ⅱ）若DE⊥CF，∠P=15°，⊙O的半径为2，求弦CF的长．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出△PDO∽△PEC，从而得到PD•PC=PO•PE，由切割线定理，得PA•PB=PD•PC，由此能证明PA•PB=PO•PE．
（Ⅱ）由图可知，CF=CE+EF，而由垂径定理可知DE=EF，所以只要求出DE和CE即可，欲求CE，可通过证明△DHO∽△DEC，运用比例线段进行求解，至于DE，则根据题中给出的已知条件可说明三角形DHE为等腰直角三角形，而DH和HE则可通过勾股定理求出，从而求出CF的值．

解答： （Ⅰ）证明：连结OD，∵AB是圆O的直径，
弦DF与直径AB垂直，H为垂足，C在圆O上，
∴∠DOA=∠DCF，∠POD=∠PCE，
又∵∠DPO=∠EPC，∴△PDO∽△PEC，
∴

PD

PE

=

PO

PC

，∴PD•PC=PO•PE，
由切割线定理，得PA•PB=PD•PC，
∴PA•PB=PO•PE．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：AB是弦DF的垂直平分线，
∴DE=EF．∴∠DEA=∠FEA．
∵DE⊥CF，∴∠DEA=∠FEA=45°．∴∠FEA=∠CEP=45°．
∵∠P=15°，∴∠AOD=60°．
在Rt△DHO中∵∠AOD=60°，OD=2，
∴OH=1，DH=

3

．
∵△DHE是等腰直角三角形，∴DE=

6

．
又∵∠AOD=∠DCF，∠DHO=∠DEC=90°，
∴△DHO∽△DEC．∴

DH

DE

=

HO

EC

．
∴

3

6

=

1

EC

．∴EC=

2

．
∴CF=CE+EF=CE+DE=

2

+

6

．

点评：本题考查线段乘积相等的证明，考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．