Question

若点A（1，2）是抛物线C：y²=2px（p＞0）上一点，经过点B（5，-2）的直线l与抛物线C交于P，Q两点．
（Ⅰ）求证：

PA

•

QA

为定值；
（Ⅱ）若△APQ的面积为16

2

，求直线l的斜率．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）先求出抛物线的方程，再分类讨论，利用数量积公式，结合韦达定理，即可证明

PA

•

QA

为定值；
（Ⅱ）分类讨论，利用△APQ的面积为16

2

，建立方程，即可求直线l的斜率．

解答： （I）证明：因为点A（1，2）在抛物线C：y²=2px（p＞0）上，
所以4=2p，有p=2，那么抛物线C：y²=4x---------------------------------------（2分）
若直线l的斜率不存在，直线l：x=5，此时P(5，2

5

)，Q(5，-2

5

)，A(1，2)

PA

•

QA

=(-4，2-2

5

)•(-4，2+2

5

)=0---------------------------------------------（3分）
若直线l的斜率存在，设直线l：y=k（x-5）-2，（k≠0），点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由

y2=4x y=k(x-5)-2

，有ky2-4y-4(5k+2)=0⇒

y1+y2= 4 k ，y1y2=- 20k+8 k △=16+16k(5k+2)＞0

，
∴

PA

•

QA

=（1-x₁，2-y₁）•（1-x₂，2-y₂）=1-

(y1+y2)2-2y1y2

4

+

y12y22

16

+4-2（y₁+y₂）+y₁y₂=0
∴

PA

•

QA

为定值．--------------------------------------------------------------（7分）
（ II）解：若直线l的斜率不存在，直线l：x=5，此时P(5，2

5

)，Q(5，-2

5

)，A(1，2)∴S△APQ=

1

2

×4

5

×4=8

5

≠16

2

若直线l的斜率存在时，|PQ|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1+ 1 k2

•

(y1+y2)2-4y1y2

=

1+ 1 k2

•

80k2+32k+16 k2

-------------------（9分）
点A（1，2）到直线l：y=k（x-5）-2的距离h=

4|k+1|

1+k2

------------------------------（10分）S△APQ=

1

2

•|PQ|•h=8

(5k2+2k+1)(k+1)2 k4

，--------------------------------------（11分）
满足：8

(5k2+2k+1)(k+1)2 k4

=16

2

有k=

1

2 3 -2 -1

或k=

1

- 2 3 -2 -1

---------------------------------------------（12分）

点评：本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查三角形面积的计算，考查分类讨论的数学思想，正确运用韦达定理是关键．