Question

已知M（-1，m），N（2，n）是二次函数f（x）=ax²（a＞0）图象上两点，且MN=3

2

．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的图象在N点处切线的方程；
（3）设直线x=t与f（x）和曲线y=lnx的图象分别交于点P、Q，求PQ的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据MN=3

2

，建立方程组关系即可求a的值；
（2）求函数的导数，根据导数的几何意义即可求求f（x）的图象在N点处切线的方程；
（3）求出PQ的表达式，构造函数，利用导数研究函数的最值即可得到结论．

解答： 解：（1）∵M（-1，m），N（2，n）是二次函数f（x）=ax²（a＞0）图象上两点，且MN=3

2

．
∴

m=a，a＞0 n=4a 9+(m-n)2 =3 2

，解得a=1，m=1，n=4．
（2）由（1）可得：f（x）=x²，N（2，4），
∴f′（x）=2x，则f（x）的图象在N点处切线的斜率为4，
∴f（x）的图象在N点处切线的方程为y=4x-4．
（3）由题意可得：PQ=|t²-lnt|，t＞0，
令g（t）=t²-lnt，t＞0，
g′（t）=2t-

1

t

=

2t2-1

t

=

2(t+ 2 2 )(t- 2 2 )

t

，
∴当t∈（0，

2

2

）时，g′（t）＜0，g（t）单调减；
当t∈（

2

2

，+∞）时，g′（t）＞0，g（t）单调增；
∴当t=

2

2

时，g（t）取得极小值同时也是最小值g（

2

2

）=

1

2

+

1

2

ln2；
∴PQ的最小值为

1

2

+

1

2

ln2．

点评：本题主要考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的最值问题，综合性较强，运算量较大．