Question

给出下列命题：
①如果函数f（x）对任意的x∈R，都有f（a+x）=f（a-x）（a为一个常数），那么函数f（x）必为偶函数；
②如果函数f（x）对任意的x∈R，满足f（2+x）=-f（x），那么函数f（x）是周期函数；
③如果函数f（x）对任意的x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，那么函数f（x）在R上是减函数； 
④通过平移函数y=lgx的图象和函数y=lg

x+3

10

的图象能重合．
其中真命题的序号

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数的图象与图象变化,函数的单调性及单调区间,函数的周期性

专题：阅读型,函数的性质及应用

分析：①由函数的奇偶性性定义可知：函数f（x）不一定为偶函数，只能是关于x=a对称；
②根据条件可将x换为x+2，即得函数即为周期是4的函数；
③根据函数的单调性定义即可判断；
④由对数的运算法则将函数y=lg

x+3

10

化为y=lg（x+3）-1，由图象的平移规律即可判断．

解答： 解：①若函数f（x）对任意的x∈R，都有f（a+x）=f（a-x）（a为常数），
则f（x）的图象关于直线x=a对称，
若a=0，则函数为偶函数，故①错误；
②若f（x）对任意的x∈R，满足f（2+x）=-f（x），
则f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
故函数f（x）是周期为4的函数，故②正确；
③若函数f（x）对任意的x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，
都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，
则由函数的单调性定义知函数f（x）在R上是减函数，
故③正确；
④函数y=lg

x+3

10

即y=lg（x+3）-1，
其图象可通过函数y=lgx的图象先向左平移3个单位，
再向下平移1个单位得到，故④正确．
故答案为：②③④．

点评：本题考查了函数的性质及应用，掌握函数的奇偶性、单调性和单调性的定义是解决函数问题的重要依据，同时考查对数的运算以及函数的图象的变换，是一道基础题．