Question

设P为y=

1

4

x²-2图象C上任意一点，l为C在点P处的切线，则坐标原点O到l距离的最小值为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：设出切点P坐标，由导数求得C在点P处的切线方程，由点到直线的距离公式写出坐标原点O到l距离，再由基本不等式求最小值．

解答： 解：设P（x0，

1

4

x02-2），
由y=

1

4

x²-2，得y′=

1

2

x，
∴y′|x=x0=

1

2

x0，
则C在点P处的切线方程为：y-

1

4

x02+2=

1

2

x0(x-x0)，
整理得：2x0x-4y-x02-8=0．
∴坐标原点O到l距离d=

|-x02-8|

4x02+16

=

1

2

•

x02+8

x02+4

=

1

2

•

x02+4+4

x02+4

=

1

2

(

x02+4

+

4

x02+4

)≥2．
当且仅当

x02+4

=

4

x2+4

，即x₀=0时上式等号成立．
∴坐标原点O到l距离的最小值为2．
故答案为：2．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了点到直线的距离公式，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．