Question

若平面直角坐标系内两点M、N满足条件：①M、N都在函数y=f（x）的图象上；②M、N关于原点对称，则称点对（M、N）是函数y=f（x）的一个“共生点对”（点对（M、N）与（N、M）可看作同一个“共生点对”），已知函数f（x）=

x2-4x+5 x≥0 -2ln(-x) x＜0

则此函数的“共生点对”有

 

个．

Answer 1

考点：函数的概念及其构成要素

专题：函数的性质及应用

分析：本题可根据条件，找出函数图象位于y轴右侧的图象关于y轴对称的曲线方程，用所得曲线与原函数在y轴左侧的曲线交点，得到符合两个条件的“共生点对”，得到本题结论．

解答： 解：∵函数f（x）=

x2-4x+5 x≥0 -2ln(-x) x＜0

，
∴当x＜0时，f（x）=-2ln（-x），
则该段曲线关于y轴对称的曲线对应的函数解析式为：
y=-2lnx．
∵平面直角坐标系内两点M、N满足条件：①M、N都在函数y=f（x）的图象上；②M、N关于原点对称，则称点对（M、N）是函数y=f（x）的一个“共生点对”（点对（M、N）与（N、M）可看作同一个“共生点对”）
∴由方程组

y=x2-4x+5 y=-2lnx

的解的个数可知函数的“共生点对”的个数．
即研究g（x）=x²-4x+5+2lnx，（x＞0）的零点的个数，
∵g′(x)=2x-4+

2

x

=

2(x-1)2

x

≥0，
∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
取x=e^-10，则g（x）=

1

e20

-

4

e10

+5-20＜0，
取x=1，则g（x）=1-4+5=2＞0，
∴函数g（x）在（0，+∞）上有且只有一个零点．
∴此函数的“共生点对”有1个．
故答案为：1．

点评：本题考查了函数的图象的对称性和函数图象的交点个数，还考查了新定义问题，本题难度适中，属于中档题．