Question

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=

3

，cos²A-cos²B=

3

sinAcosA-

3

sinBcosB．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若sinA=

4

5

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,二倍角的正弦,二倍角的余弦

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）△ABC中，由条件利用二倍角公式化简可得-2sin（A+B）sin（A-B）=2

3

•cos（A+B）sin（A-B）．
求得tan（A+B）的值，可得A+B的值，从而求得C的值．
（Ⅱ）由 sinA=

4

5

求得cosA的值．再由正弦定理求得a，再求得 sinB=sin[（A+B）-A]的值，从而求得△ABC的面积为

1

2

•ac•sinB 的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵△ABC中，a≠b，c=

3

，cos²A-cos²B=

3

sinAcosA-

3

sinBcosB，
∴

1+cos2A

2

-

1+cos2B

2

=

3

2

sin2A-

3

2

sin2B，
即 cos2A-cos2B=

3

sin2A-

3

sin2B，即-2sin（A+B）sin（A-B）=2

3

•cos（A+B）sin（A-B）．
∵a≠b，∴A≠B，sin（A-B）≠0，
∴tan（A+B）=-

3

，∴A+B=

2π

3

，∴C=

π

3

．
（Ⅱ）∵sinA=

4

5

＜

3

2

，C=

π

3

，∴A＜

π

3

，或A＞

2π

3

（舍去），∴cosA=

1-sin2A

=

3

5

．
由正弦定理可得，

a

sinA

=

c

sinC

，即

a

4 5

=

3

3 2

，∴a=

8

5

．
∴sinB=sin[（A+B）-A]=sin（A+B）cosA-cos（A+B）sinA=

3

2

×

3

5

-（-

1

2

）×

4

5

=

4+3 3

10

，
∴△ABC的面积为

1

2

•ac•sinB=

1

2

×

8

5

×

3

×

4+3 3

10

=

18+8 3

25

．

点评：本题主要考查二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用，属于中档题．