Question

如图，已知平面四边形ABCP中，D为PA的中点，PA⊥AB，CD∥AB，且PA=CD=2AB=4．将此平面四边形ABCP沿CD折成直二面角P-DC-B，连接PA、PB，设PB中点为E．
（Ⅰ）证明：平面PBD⊥平面PBC；
（Ⅱ）在线段BD上是否存在一点F，使得EF⊥平面PBC？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）证明BC⊥平面PBD，即可证明平面PBD⊥平面PBC；
（Ⅱ）以D为原点建立空间直角坐标系，利用

EF

•

PB

=0，

EF

•

PC

=0，即可确定点F的位置；
（Ⅲ）由（II）

EF

=(-

1

2

，-

1

2

，-1)是平面PBC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：直二面角P-DC-B的平面角为∠PDA=90°，
又PD⊥DC，则PD⊥平面ABCD，所以PD⊥BC．
又在平面四边形ABCP中，由已知数据得BD⊥BC，而PD∩BD=D，
故BC⊥平面PBD，
因为BC?平面PBC，所以平面PBD⊥平面PBC…（4分）
（Ⅱ）解：由（I）的分析易知，PD⊥DA，PD⊥DC，DC⊥DA，则以D为原点建立空间直角坐标系如图所示．结合已知数据可得A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），P（0，0，2），
则PB中点E（1，1，1），∵F∈平面ABCD，故可设F（x，y，0），
则

EF

=(x-1，y-1，-1)
∵EF⊥平面ABCD，∴

EF

•

PB

=0，

EF

•

PC

=0
又

PB

=(2，2，-2)，

PC

=(0，4，-2)，
由此解得x=y=

1

2

，即F(

1

2

，

1

2

，0)
易知这样的点F存在，且为线段BD上靠近点D的一个四等分点…..（8分）
（Ⅲ）解：由（II）

EF

=(-

1

2

，-

1

2

，-1)是平面PBC的一个法向量，又

AB

=(0，2，0)，
则得cos＜

EF

，

AB

＞=

EF • AB

| EF || AB |

=…=-

6

6

，所以＜

EF

，

AB

＞=π-arccos

6

6

，
记直线AB与平面PBC所成角为θ，则知sinθ=|cos＜

EF

，

AB

＞|=

6

6

，
故所求角的正弦值为

6

6

…..（12分）

点评：本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断所求法，解题时要注意向量法的合理运用．