Question

已知函数f（x）=3sin（2x-

π

3

），x∈R
（1）在给定的平面直角坐标系中，利用五点法画函数f（x）=3sin（2x-

π

3

），x∈[0，π]的简图；
（2）求f（x）=3sin（2x-

π

3

），x∈[-π，0]的单调增区间；
（3）若方程f（x）=m在[-

π

2

，0]上有实根，求m的取值范围．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由条件利用五点法做函数函数y=3sin（2x-

π

3

）在一个周期上的简图．
（2）根据正弦函数的定义域和值域，令2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，可得函数f（x）的增区间．
（3）由题意可得，函数y=f（x）的图象和直线y=m在[-

π

2

，0]上有交点．由x∈[-

π

2

，0]，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的范围，即为m的范围．

解答： 解：（1）列表：
∵x∈[0，π]，∴2x-

π

3

∈[-

π

3

，

5π

3

]，

2x- π 3	- π 3	0	π 2	π	3π 2	5π 3
x	0	π 6	5π 12	2π 3	11π 12	π
f（x）	- 3 3 2	0	3	0	-3	- 3 3 2

作图：

（2）令2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，
故函数f（x）的增区间为[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈z．
再结合x∈[-π，0]，可得函数的增区间为[-π，-

7π

12

]、[-

π

12

，0]．
（3）∵方程f（x）=m在[-

π

2

，0]上有实根，∴函数y=f（x）的图象和直线y=m在[-

π

2

，0]上有交点．
由x∈[-

π

2

，0]可得，2x-

π

3

∈[-

4π

3

，-

π

3

]，sin（2x-

π

3

）∈[-1，

3

2

]，f（x）∈[-3，

3 3

2

]．
故m的取值范围为[-3，

3 3

2

]．

点评：本题主要考查用五点法做函数函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的简图，正弦函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，体现了转化的数学思想，属于基础题．