Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=CC₁，M为AB中点，D在A₁B₁上且A₁D=3DB₁．
（1）求证：平面CMD⊥平面ABB₁A₁；
（2）求二面角C-BD-M的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面CMD⊥平面ABB₁A₁；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角C-BD-M的余弦值．

解答： 解：（1）∵，∠ACB=90°，AC=BC=CC₁，M为AB中点，
∴CM⊥AB，
则直三棱柱中，平面ABC⊥ABB₁A₁，
∴CM⊥ABB₁A₁，
∵CM?平面ABB₁A₁，
∴平面CMD⊥平面ABB₁A₁；
（2）以为C₁坐标原点，建立空间直角坐标系如图，
∵AC=BC=CC₁，
∴设=AC=BC=CC₁=1，
则A（1，0，1），B（0，1，1），C（0，0，1），M（

1

2

，

1

2

，1），则

CM

=（

1

2

，

1

2

，0）
由（1）知CM⊥ABB₁A₁，
∴

CM

是平面ABB₁A₁的法向量，
A₁（1，0，0），B₁（0，1，0），
∵A₁D=3DB₁．
∴

A1D

=3

DB1

，设D（x，y，0），
则（x-1，y，0）=3（-x，1-y，0），
即

x-1=-3x y=1-y

，
则

x= 1 4 y= 1 2

，即D（

1

4

，

1

2

，0），
则

CB

=（0，1，0），

BD

=（

1

4

，-

1

2

，-1），
设平面CBD的法向量为

n

=（x，y，z），
则

n • CB =y=0 n • BD = 1 4 x- 1 2 y-z=0

，
即

y=0 x=4z

，设z=1，在x=4，
即法向量

n

=（4，0，1），
则cos＜

n

，

CM

＞=

n • CM

| n |•| CM |

=

2

17 • 1 2

=

2 34

17

即二面角C-BD-M的余弦值

2 34

17

．

点评：本题主要考查面面垂直的判断依据空间二面角的求解，建立坐标系，利用向量法是解决空间二面角问题的基本方法．