Question

已知f（x）=sin（-2x+

π

6

）+

3

2

，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间．
（2）函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据f（x）=sin（-2x+

π

6

）+

3

2

，可得函数的周期，即函数 y=sin（2x-

π

6

）的减区间．令

π

2

+2kπ＜2x-

π

6

＜

3π

2

+2kπ，求得x的范围，可得f（x）的增区间．
（2）根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

解答： 解：（1）∵f（x）=sin（-2x+

π

6

）+

3

2

=-sin（2x-

π

6

）+

3

2

，
∴函数的最小正周期为

2π

2

=π，函数f（x）的单调增区间即函数y=sin（2x-

π

6

）的减区间．
令

π

2

+2kπ＜2x-

π

6

＜

3π

2

+2kπ，解得kπ+

π

3

＜x＜kπ+

5π

6

，k∈z．
故f（x）的增区间为[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]，k∈z．
（2）把函数y=sin2x（x∈R）的图象向左平移

π

12

个单位，可得函数y=sin2（x+

π

12

）=sin（2x+

π

6

）的图象；
再把所得图象向上平移

3

2

个单位，可得函数y=sin（2x+

π

6

）+

3

2

的图象；
再把所得图象向关于y轴对称，可得函数y=sin（-2x+

π

6

）+

3

2

的图象．

点评：本题主要考查三角函数的周期性和求法，正弦函数的单调性，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，体现了转化的数学思想，属于中档题．