Question

如图，设直线l：y=kx+

2

（k∈R）与抛物线C：y=x²相交于P，Q两点，其中Q点在第一象限．
（1）若点M是线段PQ的中点，求点M到x轴距离的最小值；
（2）当k＞0时，过点Q作y轴的垂线交抛物线C于点R，若

PQ

•

PR

=0，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）把直线l的方程与抛物线方程联立可得根与系数的关系，再利用中点坐标公式和二次函数的性质即可得出；
（2）利用数量积运算和根与系数的关系即可得出．

解答： 解：（1）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x₀，y₀）．
由

y=kx+ 2 y=x2

消去y，整理得x2-kx-

2

=0，
∴x₁+x₂=k，x₁x₂=-

2

，
∴x0=

x1+x2

2

=

k

2

，y0=kx0+

2

=

k2

2

+

2

≥

2

∴点M到x轴距离的最小值为

2

．
（2）由题意得R（-x₂，y₂），
∴

PQ

•

PR

=(x2-x1，y2-y1)•(-x2-x1，y2-y1)=(x2-x1)(-x2-x1)+(y2-y1)2
=x12-x22+(y2-y1)2=y1-y2+(y2-y1)2=(y2-y1)(y2-y1-1)=0，
∵y₁≠y₂，
∴y₂-y₁=1，从而k（x₂-x₁）=1，故k2(x2-x1)2=1．
∴k2[(x2+x1)2-4x1x2]=1，k2(k2+4

2

)=1．
解得k2=3-2

2

=(

2

-1)2（负根舍去），
∵k＞0，∴k=

2

-1，
∴直线l的方程为y=(

2

-1)x+

2

．

点评：本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到关于x的一元二次方程及其根与系数的关系、中点坐标公式和二次函数的性质、数量积运算等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．