Question

已知函数f（x）=ax³-3x．
（1）当a≤0时，求函数f（x）单调区间；
（2）若函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为4，求a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：分类讨论,转化思想

分析：（1）利用导数结合参数条件，判断导函数的正负，得到原函数的单调区间；
（2）利用导数判断函数的单调性，从而得出函数在闭区间上的最小值，即得到参数的一个方程，从而求出参数的值．

解答： 解：（1）解：∵f（x）=ax³-3x，
∴f′（x）=3ax²-3，
∵a≤0，所以f′（x）＜0对任意实数x∈R恒成立，
∴f（x）的单调减区间为（-∞，+∞）．
（2）当a≤0时，由（1）可知，f（x）在区间[1，2]是减函数，
由f（2）=4得a=

5

4

，（不符合舍去），
当a＞0时，f′（x）=3ax²-3=0的两根x=±

1 a

，
①当

1 a

≤1，即a≥1时，f′（x）≥0在区间[1，2]恒成立，f（x）在区间[1，2]是增函数，由f（1）=4得a=7；
②当

1 a

≥2，即0＜a≤

1

4

时　f′（x）≤0在区间[1，2]恒成立　f（x）在区间[1，2]是减函数，f（2）=4，a=

5

4

（不符合舍去）；
③当1＜

1 a

＜2，即

1

4

＜a＜1时，f（x）在区间[1，

1 a

]是减函数，f（x）在区间[

1 a

，2]是增函数；所以f(

1

a

)=4无解．
综上，a=7．

点评：本题考查的是导数知识，重点是利用导数判断函数的单调性，难点是分类讨论．对学生的能力要求较高，属于难题．