Question

如图，多面体ABCDEF中，BA，BC，BE两两垂直，且AB∥EF，CD∥BE，AB=BE=2，BC=CD=EF=1．
（1）若点G在线段AB上，且BG=3GA，求证：CG∥平面ADF；
（2）求直线DE与平面ADF所成的角的正弦值；
（3）求锐二面角B-DF-A的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定,直线与平面所成的角,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间角,空间向量及应用

分析：（1）分别取AB，AF的中点M，H，连结MF，GH，DH，由已知条件推导出四边形CDHG是平行四边形，从而得到CG∥DH，由此能证明CG∥平面ADF．
（2）以B为原点，分别以BC，BE，BA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz．利用向量法能求出直线DE与平面ADF所成的角的正弦值．
（3）分别求出平面ADF的法向量和平面BDF的法向量，利用向量法能求出锐二面角B-DF-A的余弦值．

解答： 解：（1）分别取AB，AF的中点M，H，连结MF，GH，DH，
则有AG=GM，MF

∥ .

.

BE．
∵AH=HF，∴GH

∥ .

.

1

2

MF，…（1分）
又∵CD

∥ .

.

1

2

BE，BE

∥ .

.

MF
∴CD

∥ .

.

GH
∴四边形CDHG是平行四边形，∴CG∥DH，…（2分）
又∵CG?平面ADF，DH?平面ADF
∴CG∥平面ADF．…（4分）
（2）如图，以B为原点，分别以BC，BE，BA所在直线为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系O-xyz．
由题意得A（0，0，2），C（1，0，0），
D（1，1，0），E（0，2，0），F（0，2，1），
∴

DE

=(-1，1，0)，

DA

=(-1，-1，2)，

FA

=(0，-2，1)，…（6分）
设平面ADF的一个法向量

n

=(x，y，z)，
则有

n • DA =-x-y+2z=0 n • FA =-2y+z=0

，
化简，得

x=3y z=2y

，令y=1，得

n

=(3，1，2)，…（8分）
设直线DE与平面ADF所成的角为θ，
则有sinθ=|

n • DE

| n |•| DE |

|=

7

7

．…（9分）
∴直线DE与平面ADF所成的角的正弦值为

7

7

．
（3）由（Ⅱ）知平面ADF的法向量

n

=（3，1.2），
设平面BDF的一个法向量

n2

=（x，y，z），
∵∵

BF

=(0，2，1)，

BD

=(1，1，0)，
∴

n2 • BF =0 n2 • BD =0

，∴

2y+z=0 x+y=0

∴z=-2y，x=-y，令y=-1，则

n2

=(1，-1，2)…（11分）
设锐二面角B-DF-A的平面角为θ
则cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=|

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

|=

6

14 • 6

=

21

7

…（12分）
∴锐二面角B-DF-A的余弦值为

21

7

．…（13分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查锐二面角的大小的求法，解题时要注意向量法的合理运用．