Question

命题p：已知“a-1＜x＜a+1：”是“x²-6x＜0”的充分不必要条件；命题q：?x∈（-1，+∞），x+

4

x+1

＞a恒成立．如果p为真命题，命题p且q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：本题的关键是得到q命题：q：?x∈（-1，+∞），x+

4

x+1

＞a恒成立为真时a的取值范围：x+1＞0，y=x+

4

x+1

=（x+1）+

4

x+1

-1≥2

(x+1)• 4 x+1

-1=3（当且仅当x+1=

4

x+1

即x=1时取“=”号）

解答： 解：∵p为真命题，命题p且q为假
∴p真q假
∵x²-6x＜0，
∴0＜x＜6
∴命题p为真，即“a-1＜x＜a+1”是“x²-6x＜0”的充分不必要条件得到

a-1≥0 a+1≤6

即1≤a≤5
又∵若命题q为真，q：?x∈（-1，+∞），x+

4

x+1

＞a恒成立
那么：x+1＞0，y=x+

4

x+1

=（x+1）+

4

x+1

-1≥2

(x+1)• 4 x+1

-1=3（当且仅当x+1=

4

x+1

即x=1时取“=”号）
∴?x∈(-1，+∞)，x+

4

x+1

＞a恒成立?3＞a
依题意p为真，p且q为假，则q为假
则有1≤a≤5．且a≥3，得到3≤a≤5
∴a的取值范围为[3，5]

点评：本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．