Question

已知a是实数，函数f（x）=x²（x-a）．
（1）若f′（1）=3，求a的值及曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若a=

3

2

，求f（x）在区间[0，2]上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）由原函数解析式求得f′（1），再由f′（1）=3列式求得a，分别代入原函数解析式和导函数解析式求得f（1）和f′（1），则切线方程可求；
（2）把a=

3

2

代入函数解析式，求导后由导函数的零点对区间[0，2]分段，由导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性，从而求得极值，再求出区间端点值后通过比较大小得f（x）在区间[0，2]上的最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²（x-a）=x³-ax²．
∴f'（x）=3x²-2ax．
∵f'（1）=3-2a=3，∴a=0．
又当a=0时，f（1）=1，f'（1）=3，
则切点坐标（1，1），斜率为3，
∴曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y-1=3（x-1）
化简得3x-y-2=0；
（2）把a=

3

2

代入得，f(x)=x3-

3

2

x2，
f′（x）=3x²-3x=3x（x-1）．
令f'（x）=0，解得x₁=0，x₂=1．
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上单调递减，
当x∈（1，2）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，2）上单调递增，
∴f（x）在[0，2]上有极小值，也就是最小值为f（1）=-

1

2

．
又f（0）=0，f（2）=2．
∴f（x）在[0，2]上的最大值为2．
综上所述，f（x）在区间[0，2]上的最大值为2．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的最值，是中档题．