Question

4．点P在$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上且到直线$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{3}$=1的距离为$\frac{6}{5}$，则点P的个数为2．

Answer 1

分析 求出与直线平行并且到直线$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{3}$=1的距离为$\frac{6}{5}$的直线方程，然后利用直线与椭圆方程交点个数推出结果．

解答 解：点P在$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上且到直线$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{3}$=1的距离为$\frac{6}{5}$，
转化为与直线平行并且到直线$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{3}$=1的距离为$\frac{6}{5}$的直线与椭圆的交点个数．
与直线平行并且到直线$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{3}$=1的距离为$\frac{6}{5}$的直线方程为：3x+4y-6=0与3x+4y-18=0．

$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1\\ 3x+4y-18=0\end{array}\right.$，消去y可得：9x²+（3x-18）²=144．
化简可得：x²-6x+10=0，△=36-40=-4＜0，方程无解，
直线3x+4y-6=0与椭圆必有2个交点．
故答案为：2．

点评 本题考查直线与椭圆的综合应用，平行线的求法转化思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．