Question

1．已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆x²+y²+2$\sqrt{3}$x-4$\sqrt{3}$y+7=0相交于A，B两点，且$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=4，则实数a的值为（　　）

• A． $\sqrt{3}$或-$\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{3}$或3$\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{3}$或5$\sqrt{3}$
• D． 3$\sqrt{3}$或5$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 圆x²+y²+2$\sqrt{3}$x-4$\sqrt{3}$y+7=0，可化为（x+$\sqrt{3}$）²+（y-2$\sqrt{3}$）²=8．利用$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=4，可得∠ACB=60°，圆心到直线的距离为$\sqrt{6}$，即可得出结论．

解答 解：圆x²+y²+2$\sqrt{3}$x-4$\sqrt{3}$y+7=0，可化为（x+$\sqrt{3}$）²+（y-2$\sqrt{3}$）²=8．
∵$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=4，∴2$\sqrt{2}$•2$\sqrt{2}$cos∠ACB=4
∴cos∠ACB=$\frac{1}{2}$，
∴∠ACB=60°
∴圆心到直线的距离为$\sqrt{6}$，
∴$\frac{|-\sqrt{3}-2\sqrt{3}+a|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴a=$\sqrt{3}$或5$\sqrt{3}$．
故选：C．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．