Question

15．用适当的方法证明下列命题：
（1）$\sqrt{b+1}-\sqrt{b}＜\sqrt{b-1}-\sqrt{b-2}（b≥2）$
（2）设a，b，c∈（0，+∞），求证：三个数中$a+\frac{1}{b}，c+\frac{1}{a}，b+\frac{1}{c}$至少有一个不小于2．

Answer 1

分析 （1）用分析法即可证明．
（2）假设$a+\frac{1}{b}，c+\frac{1}{a}，b+\frac{1}{c}$都小于2，则a+$\frac{1}{b}$+c+$\frac{1}{a}$+b+$\frac{1}{c}$＜6，再结合基本不等式，引出矛盾，即可得出结论

解答 解：（1）要证：$\sqrt{b+1}$-$\sqrt{b}$＜$\sqrt{b-1}$-$\sqrt{b-2}$（b≥2），
只要证$\sqrt{b+1}$+$\sqrt{b-2}$＜$\sqrt{b}$+$\sqrt{b-1}$，
只要证（$\sqrt{b+1}$+$\sqrt{b-2}$）²＜（$\sqrt{b}$+$\sqrt{b-1}$）²，
即2b-1+2$\sqrt{{b}^{2}-b-2}$＜2b-1+2$\sqrt{{b}^{2}-b}$
只要证$\sqrt{{b}^{2}-b-2}$＜$\sqrt{{b}^{2}-b}$
只要证b²-b-2＜b²-b，
只要证-2＜0，
显然-2＜0成立，
故原不等式成立；
（2）证明：假设$a+\frac{1}{b}，c+\frac{1}{a}，b+\frac{1}{c}$都小于2，则a+$\frac{1}{b}$+c+$\frac{1}{a}$+b+$\frac{1}{c}$＜6．
∵a，b，c均大于0，
∴a+$\frac{1}{b}$+c+$\frac{1}{a}$+b+$\frac{1}{c}$≥2+2+2+2=6，矛盾．
∴a+$\frac{1}{b}$+c+$\frac{1}{a}$+b+$\frac{1}{c}$中至少有一个不小于2．

点评 本题考查了利用分析法证明不等式成立，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口关键是转化，属于中档题．