Question

8．曲线$\sqrt{1-{{（x-1）}^2}}$=|y-1|-2与直线y=k（x-4）+1有两个不同交点，则实数k的取值范围是[1，$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$）∪（$\frac{\sqrt{3}-3}{4}$，-1]． 

Answer 1

分析 化简曲线方程，作出曲线图象，根据直线与曲线的交点个数求出k的范围．

解答 解：∵$\sqrt{1-{{（x-1）}^2}}$=|y-1|-2，
∴$\sqrt{1-{{（x-1）}^2}}$=y-3（y≥3）与$\sqrt{1-{{（x-1）}^2}}$=-1-y（y≤-1），
∴（x-1）²+（y-3）²=1（y≥1）或（x-1）²+（y+1）²=1（y≤-1）．
∴曲线$\sqrt{1-{{（x-1）}^2}}$=|y-1|-2表示以（1，3）为圆心以1为半径的上半圆和以（1，-1）为圆心，以1为半径的下半圆．
作出图形如下：

设直线y=k（x-4）+1过点（2，-1），则-2k+1=-1，∴k=1．
若直线y=k（x-4）+1与半圆（x-1）²+（y+1）²=1（y≤-1）相切．
则$\frac{|-3k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$（舍）或k=$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$．
∴当直线y=k（x-4）+1与半圆（x-1）²+（y+1）²=1（y≤-1）有两个交点时，
1≤k＜$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$，
∵直线y=k（x-4）+1过点（4，1），且两个半圆关于直线y=1对称，
∴当直线y=k（x-4）+1与半圆（x-1）²+（y-3）²=1（y≥3）有两个交点时，
k的范围是-$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$＜k≤1．
∴k的取值范围是1≤k＜$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$或-$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$＜k≤-1．
故答案为（-$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$，-1]∪[1，$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$）．

点评 本题考查了圆的方程，直线与圆的位置关系，属于中档题．