Question

20．求下列定积分：
（1）$\int_1^4{\sqrt{x}}（1-\sqrt{x}）dx$；
（2）$\int_1^2{\;}（{2^x}+\frac{1}{x}）dx$
（3）$\int_0^{\frac{Π}{3}}{\;}（sinx-sin2x）dx$．

Answer 1

分析 （1）求得$\sqrt{x}$-x原函数，根据定积分的运算，即可求得；
（2）由$\int_1^2{\;}（{2^x}+\frac{1}{x}）dx$=（$\frac{{2}^{x}}{ln2}$+lxx）${丨}_{1}^{2}$，代入即可求得答案；
（3）由复合函数的求原式的公式可知sin2x的原函数为-$\frac{1}{2}$cos2x，代入即可求得结果．

解答 解：（1）$\int_1^4{\sqrt{x}}（1-\sqrt{x}）dx$=${∫}_{1}^{4}$（$\sqrt{x}$-x）dx=（$\frac{2}{3}$${x}^{\frac{3}{2}}$-$\frac{1}{2}$x²）${丨}_{1}^{4}$=-$\frac{17}{6}$；
（2）$\int_1^2{\;}（{2^x}+\frac{1}{x}）dx$=（$\frac{{2}^{x}}{ln2}$+lnx）${丨}_{1}^{2}$=（$\frac{{2}^{2}}{ln2}$+ln2）-（$\frac{{2}^{1}}{ln2}$+ln1）=$\frac{2}{ln2}$+ln2，
（3）$\int_0^{\frac{Π}{3}}{\;}（sinx-sin2x）dx$=（-cosx+$\frac{1}{2}$cos2x）${丨}_{0}^{\frac{π}{3}}$=（-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）-（-1+$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查定积分的运算，考查计算求原函数的方法，考查计算能力，属于中档题．