Question

已知向量

m

=（sin²x+

1+cos2x

2

，sinx），

n

=（

1

2

cos2x-

3

2

sin2x，2sinx），设函数f（x）=

m

•

n

，x∈R．
（1）写出f（x）的单调递增区间；
（2）若x∈[0，

π

6

），求f（x）的值域；
（3）已知cos（α-β）=

3

5

，cos（α+β）=-

3

5

，0＜α＜β≤

π

2

，求f（β）．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）根据数量积的坐标运算化简f（x）=1-sin（2x+

π

6

），再由正弦函数性质可知，f（x）的单调递增区间为(kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

)，k∈Z；
（2）通过三角函数单调性直接求解即可；
（3）将2β分解成α+β-（α-β）然后利用两角差的余弦公式求解β，代入函数f（x）即可．

解答： 解：（1）∵向量

m

=（sin²x+

1+cos2x

2

，sinx）
=（sin²x+cos²x，sinx）
=（1，sinx），

n

=（

1

2

cos2x-

3

2

sin2x，2sinx），
∴f（x）=

m

•

n

=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+2sin²x
=1-

1

2

cos2x-

3

2

sin2x
=1-sin（2x+

π

6

），
由正弦函数性质可知，
f（x）的单调递增区间为(kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

)，k∈Z．
（2）由（1）知，
f（x）=1-sin（2x+

π

6

），
在x∈[0，

π

6

）时，f（x）为减函数，
∵当x=0时，x=

1

2

，
当x=

π

6

时，x=0．
∴f（x）的值域为(0，

1

2

]．
（3）∵0＜α＜β≤

π

2

，
∴

π

2

＜α-β＜0，0＜α+β＜π
∴sin（α-β）＜0，sin（α+β）＞0．
∵cos（α-β）=

3

5

，cos（α+β）=-

3

5

，
sin（α-β）=-

4

5

，sin（α+β）=

4

5

．
∴cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]
=cos（α+β）cos（α+β）+sin（α+β）sin（α-β）
=-1，
∴β=

π

2

．
∴f(

π

2

)=1-sin(π+

π

6

)
=

3

2

．

点评：本题考查向量数量积运算，三角恒等变换公式，三角函数性质等知识的综合应用，属于中档题．