Question

已知函数f（x）=sinx-ax，g（x）=bxcosx（a∈R，b∈R）．
（1）讨论函数f（x）在区间（0，π）上的单调性；
（2）若a=2b且a≥

2

3

，当x＞0时，证明f（x）＜g（x）．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,三角函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导数f'（x）=cosx-a通过余弦函数的值域，讨论a与[-1，1]的范围，判断导数的符号，然后得到函数的单调性．
（2）用分析法证明f（x）＜g（x），转化为证明

sinx

2+cosx

＜

a

2

x，构造函数M（x）=

sinx

2+cosx

-

a

2

x，通过求解函数的导数，求出函数的最值，然后证明即可．

解答： （本小题13分）
解：（1）f（x）=sinx-ax，则f'（x）=cosx-a…（1分）
当a≥1时，f'（x）＜0，所以函数f（x）在区间（0，π）上单调递减   …（2分）
当a≤-1时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在区间（0，π）上单调递增   …（3分）
当-1＜a＜1时，存在ϕ∈（0，π），使得cosϕ=a，即f'（ϕ）=0，
x∈（0，ϕ）时，f'（x）＞0，
所以函数f（x）在区间（0，ϕ）上单调递增，
x∈（ϕ，π）时，f'（x）＜0，
所以函数f（x）在区间（ϕ，π）上单调递减  …（6分）
（2）要证明f（x）＜g（x），只须证明f（x）-g（x）＜0
当a=2b时，f(x)-g(x)=sinx-

a

2

x(2+cosx)＜0…（7分）
等价于

sinx

2+cosx

＜

a

2

x…（9分）
记M（x）=

sinx

2+cosx

-

a

2

x，则    …（10分）
M'（x）=

2cosx+1

(2+cosx)2

-

a

2

=-3(

1

2+cosx

-

1

3

)2-

a

2

+

1

3

…（11分）
当a≥

2

3

，即

a

2

≥

1

3

时，M'（x）≤0，M（x）在区间上（0，+∞）单调递减，M（x）＜M（0）=0
所以，当x＞0，f（x）＜g（x）恒成立．…（13分）

点评：本题考查函数的对数的综合应用，函数的单调性以及最值的应用，分析法以及构造法是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．