Question

已知双曲线

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线上有A，B两点，若直线l的方程为x+

2

y-2=0，且AB⊥l，则椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的离心率为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出双曲线的渐近线方程，再由两直线垂直的条件，得到

a

b

=

2

，再由椭圆的a，b，c的关系，结合离心率公式计算即可得到．

解答： 解：双曲线

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为
y=±

a

b

x，
直线l的方程为x+

2

y-2=0的斜率为-

2

2

，
由于AB⊥l，则

a

b

=

2

，
则椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的c=

a2-b2

=

a2- 1 2 a2

=

2

2

a，
则离心率为e=

c

a

=

2

2

．
故答案为：

2

2

．

点评：本题考查双曲线和椭圆的方程和性质，考查离心率的求法，考查两直线垂直的条件，考查运算能力，属于基础题．