Question

过直线x=-2上的动点P作抛物线y²=4x的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．
（1）若切线PA，PB的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁k₂为定值；
（2）求证：直线AB恒过定点．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）不妨设A(

t

2 1

，2t1)，B(

t

2 2

，2t2)（t₁＞0，t₂＞0），P（-2，m）．由y²=4x，当y＞0时，y=2

x

，y′=

1

x

，可得k1=

1

t1

．同理k₂=

1

t2

．利用斜率计算公式可得k₁=

1

t1

，得

t

2 1

-mt1-2=0．同理

t

2 2

-mt₂-2=0．t₁，t₂是方程t²-mt-2=0的两个实数根，即可得出k₁k₂=

1

t1t2

为定值．
（2）直线AB的方程为y-2t₁=

2(t2-t1)

t 2 2 - t 2 1

(x-

t

2 1

)．化为y=

2

t1+t2

x+

2t1t2

t1+t2

，由于t₁t₂=-2，可得直线方程y=

2

t1+t2

(x-2)．

解答： 证明：（1）不妨设A(

t

2 1

，2t1)，B(

t

2 2

，2t2)（t₁＞0，t₂＞0），P（-2，m）．
由y²=4x，当y＞0时，y=2

x

，y′=

1

x

，
∴k1=

1

t1

．
同理k₂=

1

t2

．
由k1=

2t1-m

t 2 1 +2

=

1

t1

，得

t

2 1

-mt1-2=0．
同理

t

2 2

-mt₂-2=0．
∴t₁，t₂是方程t²-mt-2=0的两个实数根，
∴t₁t₂=-2，
∴k₁k₂=

1

t1t2

=-

1

2

为定值．
（2）直线AB的方程为y-2t₁=

2(t2-t1)

t 2 2 - t 2 1

(x-

t

2 1

)．
即y=

2

t1+t2

x+2t₁-

2 t 2 1

t1+t2

，
即y=

2

t1+t2

x+

2t1t2

t1+t2

，由于t₁t₂=-2，
∴直线方程化为y=

2

t1+t2

(x-2)，
∴直线AB恒过定点（2，0）．

点评：本题考查了直线与抛物线相交相切问题、切线方程、斜率计算公式、直线过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．