Question

10．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F₁，F₂，M是双曲线上的一点，且|MF₁|=$\sqrt{3}$，|MF₂|=1，∠MF₁F₂=30°，则该双曲线的离心率是（　　）

• A． $\sqrt{3}-1$
• B． $\sqrt{3}+1$
• C． $\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$
• D． $\sqrt{3}+1$或$\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$

Answer 1

分析 利用正弦定理计算∠MF₂F₁=60°或120°，分类求出c的值，利用双曲线的定义计算a，即可求得双曲线的离心率．

解答 解：∵M是双曲线上的一点，|MF₁|=$\sqrt{3}$，|MF₂|=1，∠MF₁F₂=30°，
由正弦定理可得，$\frac{|M{F}_{2}|}{sin∠M{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{|M{F}_{1}|}{sin∠M{F}_{2}{F}_{1}}$，即$\frac{1}{sin30°}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin∠M{F}_{2}{F}_{1}}$，
解得sin∠MF₂F₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠MF₂F₁=60°或120°，
当∠MF₂F₁=60°时，△MF₂F₁为直角三角形，此时2c=|F₂F₁|=2．即c=1，
∵2a=|MF₁|-MF₂|=$\sqrt{3}$-1，即a=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$+1，
当∠MF₂F₁=120°时，△MF₂F₁为直角三角形，此时2c=|F₂F₁|=|MF₁|=1．即c=$\frac{1}{2}$，
∵2a=|MF₁|-MF₂|=$\sqrt{3}$-1，即a=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
故选：D．

点评 本题考查双曲线的定义，考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，属于中档题．