Question

15．设函数f（x）=|x+1|-m|x-2|．
（Ⅰ）若m=1，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若m=-1，求不等式f（x）＞3x的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当m=1时，f（x）=|x+1|-|x-2|，根据绝对值不等式的几何意义即可求出值域，
（Ⅱ）当m=-1时，不等式f（x）＞3x即|x+1|+|x-2|＞3x，分类讨论即可求出不等式的解集．

解答 解：（Ⅰ）当m=1时，f（x）=|x+1|-|x-2|，
∵||x+1|-|x-2||≤|（x+1）-（x-2）|=3，
∴-3≤|x+1|-|x-2|≤3，函数f（x）的值域为[-3，3]，
（Ⅱ）当m=-1时，不等式f（x）＞3x即|x+1|+|x-2|＞3x，
①当x＜-1时，得-x-1-x+2＞3x，解得$x＜\frac{1}{5}$，∴x＜-1；
②当-1≤x＜2时，得x+1-x+2＞3x，解得x＜1，∴-1≤x＜1；
③当x≥2时，得x+1+x-2＞3x，解得x＜-1，所以无解；
综上所述，原不等式的解集为（-∞，1）．

点评 本题考查了绝对值函数的以及绝对值不等式的解法，属于中档题．