Question

1．函数$f（x）=2sinx+2cosx-sin2x+1，x∈[{-\frac{5π}{12}，\frac{π}{3}}）$的值域是[$\frac{3}{2}$-$\sqrt{2}$，3]．

Answer 1

分析 根据题意，令t=sinx+cosx，用t表示出sin2x，求出函数y=f（t）的解析式，根据x的取值范围，再求出t的取值范围，从而求出f（t）值域．

解答 解：根据题意，令t=sinx+cosx，则有
t²=1+2sinxcosx，
即sin2x=t²-1；
所以y=f（t）=2t-（t²-1）+1=-t²+2t+2=-（t-1）²+3；
又t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
且x∈[-$\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{3}$]，
∴x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{12}$]，
∴sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤t≤$\sqrt{2}$；
∴当t=1时，f（t）取得最大值3，
t=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，f（t）取得最小值$\frac{3}{2}$-$\sqrt{2}$；
∴函数y=f（t）的值域为[$\frac{3}{2}$-$\sqrt{2}$，3]．
故答案为：$[{\frac{3}{2}-\sqrt{2}，3}]$．

点评 本题考查了三角函数的化简求值以及求函数值域的应用问题，属于中档题．