Question

19．已知△ABC是等边三角形，D在BC的延长线上，且CD=2，${S_{△ABD}}=6\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求AB的长；
（Ⅱ）求sin∠CAD的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设AB=x．由△ABC是等边三角形，可求∠ABC的值，利用三角形面积公式可得x²+2x-24=0，进而解得AB的值．
（Ⅱ）由余弦定理可求AD的值，进而利用正弦定理可求sin∠CAD的值．

解答 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设AB=x．
因为△ABC是等边三角形，
所以$∠ABC=\frac{π}{3}$．
因为${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}AB•BDsin∠ABC$，
所以$6\sqrt{3}=\frac{1}{2}x（x+2）×\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
即x²+2x-24=0．
所以x=4，x=-6（舍）．
所以AB=4．…（6分）
（Ⅱ）因为AD²=AB²+BD²-2AB•BDcos∠ABC，
所以$A{D^2}=16+36-2×4×6×\frac{1}{2}=28$．
所以$AD=2\sqrt{7}$．
在△ACD中，
因为$\frac{CD}{sin∠CAD}=\frac{AD}{sin∠ACD}$，
所以$sin∠CAD=\frac{CD•sin∠ACD}{AD}=\frac{{2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{2\sqrt{7}}}=\frac{{\sqrt{21}}}{14}$．…（13分）

点评 本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．