Question

已知函数f（x）=log_a（ax²-x+

1

2

）（a＞0且a≠1）在[1，

3

2

]上恒正，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：函数f（x）=log_a（ax²-x+

1

2

）（a＞0且a≠1）在[1，

3

2

]上恒正，u（x）=ax²-x+

1

2

根据单调性可得：当a＞1时u（1）＞1；当0＜a＜1时，满足：

0＜a＜1 1 2a ＜1 a( 3 2 )2- 3 2 + 1 2 ＜1

或

0＜a＜1 1 2a ≥1 a( 1 2a )2- 1 2a + 1 2 ＜1

综合求解，即可得到答案．

解答： 解：∵函数f（x）=log_a（ax²-x+

1

2

）（a＞0且a≠1）在[1，

3

2

]上恒正，u（x）=ax²-x+

1

2

∴当a＞1时，x=

1

2

×

1

a

＜1，∴知满足u（1）＞1，即a-1+

1

2

＞1，a＞

3

2

，
当0＜a＜1时，x=

1

2a

，满足：

0＜a＜1 1 2a ＜1 a( 3 2 )2- 3 2 + 1 2 ＜1

或

0＜a＜1 1 2a ≥1 a( 1 2a )2- 1 2a + 1 2 ＜1

，
解不等式得：

1

2

＜a＜

8

9

，
所以实数a的取值范围是（

3

2

，+∞）∪（

1

2

，

8

9

），
故答案为：（

3

2

，+∞）∪（

1

2

，

8

9

）．

点评：本考查了函数的单调性，解不等式等知识，难度较大，属于中档题．